Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線BC的函數解析式為y’=kx+b,求當滿足y<y’時，自變量x的取值范圍.

（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=；

（2）x<0 或x>4時，y<y’；

（3）P1（3，1），P2（， ）P3（， ）

【解析】試題分析：（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由拋物線的對稱軸x=-=1，得到b=-2a②，拋物線過點A（-2，0），得到0=4a-2b+c③，然后由①②③可解得，a=-，b=1，c=4，即可求出拋物線的解析式為y=-x2+x+4；

（2）先求出點B的坐標再觀察圖象，y時對應的圖象為直線在上拋物線在下方的部分，即可得到x的取值范圍；

（3）因為PQ∥DE，所以只需PQ=AC即可，求出PQ的參數長度便可列式求解．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點C（0，4），

∴c=4 ①．

∵對稱軸x=-=1，

∴b=-2a ②．

∵拋物線過點A（-2，0），

∴0=4a-2b+c ③，

由①②③解得，a=-，b=1，c=4，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4；

（2）∵A（﹣2，0），對稱軸x=1，

∴B（4，0）

根據圖像，得x<0 或x>4時，y

（3）已知DE∥PQ，當DE=PQ時，以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

設點F的坐標是（m，﹣m+4），則點Q的坐標是（m，﹣ m2+m+4），

∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|=DE=，

∴m=1，m=3，m=，m=

當m=1時，線段PQ與DE重合，舍去．

∴P1（3，1），

P2（， ），

P3（， ）.