Question

【題目】公元3世紀初，我國學家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統Garfeild用圖1（點C、點B、點C′三點共線）進行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a，b，斜邊是c．請用此圖1證明勾股定理．

拓展應用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外做正方形ABFH和正方形ACED，過點F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數量關系是怎樣？直接寫出結論　 　．

拓展應用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點A和點C分別在直線m、n上，過點D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是　 　．

Answer 1

【答案】證明勾股定理：見解析；拓展應用l：FM+EN＝BC；拓展應用2：正方形的面積為5.

【解析】

用a、b、c表示三角形與梯形的面積，再根據梯形的面積等于三個直角三角形的面積和便可得結論；

拓展1．過點A作AP⊥BC于點P，再證明三角形全等便可得結論；

拓展2．過點D作PQ⊥m，分別交m于點P，交n于點Q，然后證明三角形全等，轉化線段，再用勾股定理解答.

如圖：

∵點C、點B、點B′三點共線，∠C＝∠C′＝90°，

∴四邊形ACC′B′是直角梯形，

∵△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，

∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，

∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，

∴∠CBA+∠C′BB’＝90°

∴△ABB′是等腰直角三角形，

所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）CC′÷2＝，

S△ACB＝，S△BC′B′＝ab，S△ABB′＝c2，

所以，

a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，

∴a2+b2＝c2；

拓展1．過A作AP⊥BC于點P，如圖2，

則∠BMF＝∠APB＝90°，

∵∠ABF＝90°，

∴∠BFM+∠MBF＝∠MBF+∠ABP，

∴∠BFM＝∠ABP，

在△BMF和△ABP中，

，

∴△BMF≌△ABP（AAS），

∴FM＝BP，

同理，EN＝CP，

∴FM+EN＝BP+CP，

即FM+EN＝BC，

故答案為：FM+EN＝BC；

拓展2．過點D作PQ⊥m，分別交m于點P，交n于點Q，如圖3，

則∠APD＝∠ADC＝∠CQD＝90°，

∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠CDQ＝90°，

∴∠DAP＝∠CDQ，

在△APD和△DQC中，

，

∴△APD≌△DQC（AAS），

∴AP＝DQ＝2，

∵PD＝1，

∴AD2＝22+12＝5，

∴正方形的面積為 5，

故答案為：5．