Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動．同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動．點P，Q的運動速度均為每秒1個單位．運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．

（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；
（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？
（3）在動點P，Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C，Q，E，H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）A（1，4）．

由題意知，可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4

∵拋物線過點C（3，0），

∴0=a（3﹣1）2+4，

解得，a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．

（2）解：∵A（1，4），C（3，0），

∴可求直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵點P（1，4﹣t）．

∴將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得點E的橫坐標為x=1+ ．

∴點G的橫坐標為1+ ，代入拋物線的解析式中，可求點G的縱坐標為4﹣ ．

∴GE=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ．

又∵點A到GE的距離為 ，C到GE的距離為2﹣ ，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG= EG + EG（2﹣ ）

= 2（t﹣ ）=﹣ （t﹣2）2+1．

當t=2時，S△ACG的最大值為1．

（3）解：第一種情況如圖1所示，點H在AC的上方，

由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t，

根據△APE∽△ABC，知

= ，即 = ，解得t=20﹣8 ；

第二種情況如圖2所示，點H在AC的下方，

由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE= t，EM=2﹣ t，MQ=4﹣2t．

則在直角三角形EMQ中，根據勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣ /span> t）2+（4﹣2t）2=t2，

解得，t1= ，t2=4（不合題意，舍去）．

綜上所述，t=20﹣8 或t= ．

【解析】（1）由拋物線過點C（3，0），求出拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）由A（1，4），C（3，0），可求出直線AC的解析式；又點P（1，4﹣t），解得點E的橫坐標為x=1+ ，所以點G的橫坐標為1+ ，代入拋物線的解析式中，可求點G的縱坐標為4﹣ ，得到GE=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，又點A到GE的距離為 ，C到GE的距離為2﹣ ，即S△ACG=S△AEG+S△CEG，求出S△ACG的最大值為；（3）第一種情況如圖1所示，點H在AC的上方，由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根據△APE∽△ABC，得到比例，求出t的值；第二種情況如圖2所示，點H在AC的下方，由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE= t，EM=2﹣ t，MQ=4﹣2t．則在直角三角形EMQ中，根據勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，求出t的值 ；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細．