Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，﹣3），

（1）求二次函數y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點，若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：將C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c，

得c=﹣3．

將c=﹣3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c，

得9a+3b+c=0．（1）

∵直線x=1是對稱軸，

∴ ．（2）（2分）

將（2）代入（1）得

a=1，b=﹣2．

所以，二次函數得解析式是y=x2﹣2x﹣3．

（2）解：AC與對稱軸的交點P即為到B、C的距離之差最大的點．

∵C點的坐標為（0，﹣3），A點的坐標為（﹣1，0），

∴直線AC的解析式是y=﹣3x﹣3，

又∵直線x=1是對稱軸，

∴點P的坐標（1，﹣6）．

（3）解：設M（x1，y）、N（x2，y），所求圓的半徑為r，

則x2﹣x1=2r，（1）

∵對稱軸為直線x=1，即 =1，

∴x2+x1=2．（2）

由（1）、（2）得：x2=r+1．（3）

將N（r+1，y）代入解析式y=x2﹣2x﹣3，

得y=（r+1）2﹣2（r+1）﹣3．

整理得：y=r2﹣4．

由所求圓與x軸相切，得到r=|y|，即r=±y，

當y＞0時，r2﹣r﹣4=0，

解得， ， （舍去），

當y＜0時，r2+r﹣4=0，

解得， ， （舍去）．

所以圓的半徑是 或 ．

【解析】先利用待定系數法求出二次函數的解析式，然后再畫出函數圖象進行計算.