Question

【題目】如圖，四邊形中，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形...如此進行下去，得到四邊形則下列結論正確的個數有（ ）

①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長為； ④四邊形的面積是．

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】A

【解析】

首先根據題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABCD中各邊長的長度關系規律，然后對以下選項作出分析與判斷：
①根據矩形的判定與性質作出判斷；
②根據菱形的判定與性質作出判斷；

③由四邊形的周長公式：周長=邊長之和，來計算四邊形A5B5C5D5的周長；
④根據四邊形AnBnCnDn的面積與四邊形ABCD的面積間的數量關系來求其面積．

解：如下圖，連接連接A1C1，B1D1，

∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形，
∵AC丄BD，

∴四邊形A1B1C1D1是矩形，故①正確；
∴B1D1=A1C1（矩形的兩條對角線相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），
∴四邊形A2B2C2D2是菱形；
依次類推，可知當n為奇數時四邊形AnBnCnDn是矩形，當n為偶數時四邊形AnBnCnDn是菱形，故②正確；

根據中位線的性質可知，，

∴四邊形A5B5C5D5的周長是，

故③正確；

∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四邊形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，

四邊形AnBnCnDn的面積是，

故④正確；
綜上所述，①②③④正確．
故選：A．