Question

【題目】如圖，在△ABC中，5AB=6AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，FG=FD，連接EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則的值為 ．

Answer 1

【答案】．

【解析】

試題分析：利用角平分線的性質，得到BD=CD，延長AC，構造一對全等三角形△ABD≌△AMD；過點M作MN∥AD，構造平行四邊形DMNG．由MD=BD=KD=CD，得到等腰△DMK；然后利用角之間關系證明DM∥GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；由MN∥AD，列出比例式，求出的值．

解：已知AD為角平分線，則點D到AB、AC的距離相等，設為h．

∵====，

∴BD=CD．

如右圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM=AB，則有AC=4CM．連接DM．

在△ABD與△AMD中，

∴△ABD≌△AMD（SAS），

∴MD=BD=CD．

過點M作MN∥AD，交EG于點N，交DE于點K．

∵MN∥AD，

∴==，

∴CK=CD，

∴KD=CD．

∴MD=KD，即△DMK為等腰三角形，

∴∠DMK=∠DKM．

由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1=∠2；

∵MN∥AD，

∴∠3=∠4=∠1=∠2，

又∵∠DKM=∠3（對頂角）

∴∠DMK=∠4，

∴DM∥GN，

∴四邊形DMNG為平行四邊形，

∴MN=DG=2FD．

∵點H為AC中點，AC=5CM，

∴=．

∵MN∥AD，

∴=，即=，

∴=．

故答案為．