Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+x+2與x軸相交于點A、B，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點N，交線段AC于點M．點F是線段MA上的動點，連接NF，過點N作NG⊥NF交△ABC的邊于點G．

（1）求證：△ABC是直角三角形；

（2）當點G在邊BC上時，連接GF，∠NGF的度數變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出∠NGF的正切值；

（3）設點F的橫坐標為n，點G的縱坐標為m，在整個運動過程中，直接寫出m與n的函數關系式，并注明自變量n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠NGF的度數不變化，tan∠NGF=；（3）m與n的關系式為：m=2n–3（≤n≤）或m=（<n≤4）.

【解析】（1）先利用拋物線解析式確定A、B、C的坐標，然后利用勾股定理的逆定理進行證明即可；

（2）先利用待定系數法求出直線AC的然后式，則可確定M（，），再證明△NMF∽△NBG，利用相似比得到=，然后根據正切的定義得到tan∠NGF，從而判斷∠NGF的度數為定值；

（3）作GH⊥x軸于H，FQ⊥x軸于Q，F（n，–n+2），分點G在BC上，點G在AC上兩種情況進行討論即可得.

（1）當x=0時，y=–x2+x+2=2，則C（0，2）；

當y=0時，–x2+x+2=0，解得x1=–1，x2=4，則A（4，0），B（–1，0），（2分）

∵BC2=12+22=5，AC2=42+22=20，AB2=25，

∴BC2+AC2=AB2，

∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°；

（2）∠NGF的度數不變化，

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=–x+2，

∵拋物線的對稱軸為直線x=，∴M（，），

∵GN⊥NF，∴∠GNF=90°，∴∠BNG=∠MNF，

∵∠ACB=90°，∴∠NBC=∠OCA，而MN∥OC，

∴∠NMF=∠OCA，∴∠NBG=∠NMF，∴△NMF∽△NBG，

∴==，∴tan∠NGF=，

∴∠NGF的度數為定值；

（3）作GH⊥x軸于H，FQ⊥x軸于Q，F（n，–n+2），

當G點在BC上，如圖1，易得直線BC的解析式為y=2x+2，

則G（m–1，m），

∵∠GNF=90°，∴∠GNH=∠NFQ，∴Rt△NGH∽Rt△FNQ，

∴，即，

∴m=2n–3，

當m=0時，2n–3=0，解得n=；當m=2時，2n–3=2，解得n=；

∴此時n的范圍為≤n≤；

當點G在AC上，如圖2，則<n≤4，則G（4–2m，m），

易得Rt△NGH∽Rt△FNQ，

∴，即，∴m=，

綜上所述，故答案為：m與n的關系式為：m=2n–3（≤n≤）或m=（<n≤4）．