Question

【題目】如圖，在直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸正半軸上，點B的坐標是（5，2），點P是CB邊上一動點（不與點C、點B重合），連結OP、AP，過點O作射線OE交AP的延長線于點E，交CB邊于點M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．

（1）當x為何值時，OP⊥AP？
（2）求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）在點P的運動過程中，是否存在x，使△OCM的面積與△ABP的面積之和等于△EMP的面積？若存在，請求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA，

∵OP⊥AP，

∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°，

∴∠OPC=∠PAB，

∴△OPC∽△PAB，

∴ ，即 ，

解得x1=4，x2=1（不合題意，舍去）．

∴當x=4時，OP⊥AP

（2）

解：∵BC∥OA，

∴∠CPO=∠AOP，

∵∠AOP=∠COM，

∴∠COM=∠CPO，

∵∠OCM=∠PCO，

∴△OCM∽△PCO，

∴ ，即 ，

∴ ，x的取值范圍是2＜x＜5；

（3）

解：假設存在x符合題意，

過E作ED⊥OA于點D，交MP于點F，則DF=AB=2，

∵△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積，

∴ ，

∴ED=4，EF=2，

∵PM∥OA，

∴△EMP∽△EOA，

∴ ，即 ，

解得 ，

∴由（2） 得， ，

解得 （不合題意舍去），

∴在點P的運動過程中，存在 ，使△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積．

【解析】（1）根據相似三角形的判定定理證明△OPC∽△PAB，根據相似三角形的性質列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可；（2）證明△OCM∽△PCO，根據相似三角形的性質列出比例式即可求解；（3）過E作ED⊥OA于點D，交MP于點F，根據題意得到△EOA的面積=矩形OABC的面積，求出ED的長，根據相似三角形的性質求出PM，由（2）的解析式計算即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．