Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA=4，OC=3，且頂點A、C均在坐標軸上，動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AO向終點O移動；點N從點C出發沿CB向終點B以同樣的速度移動，當兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，過點N作NP⊥BC交BO于點P，連接MP．

（1）直接寫出點B的坐標，并求出點P的坐標（用含x的式子表示）；

（2）設△OMP的面積為S，求S與x之間的函數表達式；若存在最大值，求出S的最大值；

（3）在兩個動點運動的過程中，是否存在某一時刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（4，3）．P（x， x）；（2）S=﹣x2+x（0＜x＜4）, 最大值為；（3）存在，x的值為秒或秒或秒.

【解析】

試題分析：（1）根據矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性質，得出B點坐標，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形對應邊成比例得出P點坐標；（2）利用PG以及OM的長表示出△OMP的面積，再根據二次函數的性質求出最大值即可；（3）△OMP是等腰三角形時，分三種情況：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．畫出圖形，分別求出即可．

試題解析：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴B點坐標為（4，3）．如圖，延長NP，交OA于點G，則PG∥AB，OG=CN=x．∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA，∴，即=，解得：PG=x，∴點P的坐標為（x， x）；（2）∵在△OMP中，OM=4﹣x，OM邊上的高為x，∴S=（4﹣x）x=﹣x2+x，∴S與x之間的函數表達式為S=﹣x2+x（0＜x＜4）．配方，得S=﹣（x﹣2）2+，∴當x=2時，S有最大值，最大值為；（3）存在某一時刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：①如備用圖1，過點P作PG⊥AO于點G，若PO=PM，則OG=GM=CN=x，即3x=4，解得：x=；②如備用圖2，過點P作PG⊥AO于點G，若OP=OM，CN=x，則OP= OM= 4﹣x，由勾股定理，得OB===5，∵NP∥OC，∴，即，∴OP=x，即x=4﹣x，解得：x=；③如備用圖3，過點P作PQ⊥OA，垂足為Q，若OM=PM時，則PM=OM=4﹣x，OQ=CN=x，則MQ=x-(4-x)=2x﹣4，在Rt△MPQ中，PQ2+QM2=MP2，即（x）2+（2x﹣4）2=（4﹣x）2，解得：x=，綜上所述，當x的值為秒或秒或秒時，△OMP是等腰三角形．