Question

【題目】如圖，△ABC.

（1）用直尺和圓規作∠A的平分線所在的直線和邊BC的垂直平分線（要求：不寫作法，保留畫圖痕跡）；

（2）設（1）中的直線和直線交于點P，過點P作PE⊥AB，垂足為點E，過點P作PF⊥AC交AC的延長線于點F.請探究BE和CF的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）如圖1，用“尺規作圖”作出∠ABC的角平分線，再反向延長即可得到；再用“尺規作圖”作出BC的垂直平分線即可；

（2）如圖2，連接PB、PC，由題意易證△PBE≌△PCF，從而可得BE=CF.

試題解析：

（1）如圖1，圖中直線和直線為題中所求直線；

（2）如圖2，連接PB、PC，

∵AP平分∠BAC，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，

∴PE=PF，∠PEB=∠PFC=90°，

∵垂直平分BC，點P在上，

∴PB=PC，

∴△PBE≌△PCF，

∴BE=CF.