Question

【題目】如果P 是正方形ABCD 內的一點，且滿足∠APB＋∠DPC＝180°，那么稱點P 是正方形 ABCD 的“對補點”.

（1）如圖1，正方形ABCD 的對角線AC，BD 交于點M，求證：點M 是正方形ABCD 的對補點；

（2）如圖2，在平面直角坐標系中，正方形ABCD 的頂點A（1，1），C（3，3）.除對角線交點外，請再寫出一個該正方形的對補點的坐標，并證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）對補點如：N（， ）．證明見解析

【解析】試題分析：(1)根據正方形的對角線互相垂直,得到∠DMC＝∠AMB＝90°,從而得到點M是正方形ABCD的對補點.(2) 在直線y＝x（1＜x＜3）或直線y＝－x＋4（1＜x＜3）上

除（2，2）外的任意點均可,通過證明△DCN≌△BCN,得到∠CND＝∠CNB,利用鄰補角的性質即可得出結論.

試題解析：

（1）

∵四邊形ABCD是正方形，

∴ AC⊥BD．

∴ ∠DMC＝∠AMB＝90°.

即 ∠DMC＋∠AMB＝180°．

∴ 點M是正方形ABCD的對補點．

（2）對補點如：N（， ）．

說明：在直線y＝x（1＜x＜3）或直線y＝－x＋4（1＜x＜3）上

除（2，2）外的任意點均可.

證明（方法一）：

連接AC ，BD

由（1）得此時對角線的交點為（2，2）．

設直線AC的解析式為：y＝kx＋b，

把點A（1，1），C（3，3）分別代入，

可求得直線AC的解析式為：y＝x．

則點N（， ）是直線AC上除對角線交點外的一點，且在正方形ABCD內.

連接AC，DN，BN，

∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ DC＝BC，∠DCN＝∠BCN．

又∵ CN＝CN，

∴ △DCN≌△BCN．

∴ ∠CND＝∠CNB．

∵ ∠CNB＋∠ANB＝180°，

∴ ∠CND＋∠ANB＝180°．

∴ 點N是正方形ABCD的對補點．

證明（方法二）：

連接AC ，BD，

由（1）得此時對角線的交點為（2，2）．

設點N是線段AC上的一點（端點A，C及對角線交點除外），

連接AC，DN，BN，

∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ DC＝BC，∠DCN＝∠BCN．

又∵ CN＝CN，

∴ △DCN≌△BCN．

∴ ∠CND＝∠CNB．

∵ ∠CNB＋∠ANB＝180°，

∴ ∠CND＋∠ANB＝180°．

∴ 點N是正方形ABCD除對角線交點外的補點．

設直線AC的解析式為：y＝kx＋b，

把點A（1，1），C（3，3）分別代入，可求得直線AC的解析式為：y＝x．

在1＜x＜3范圍內，任取一點均為該正方形的對補點，如N（， ）．