Question

【題目】如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A，C，與y軸相交于點(diǎn)B，連接AB，BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），tan∠BAO=2，以線段BC為直徑作⊙M交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作直線l∥AC，與拋物線和⊙M的另一個交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和線段EF的長；

（3）如圖2，連接CD并延長，交直線l于點(diǎn)N，點(diǎn)P，Q為射線NB上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，且不與N重合），線段PQ與EF的長度相等，連接DP，CQ，四邊形CDPQ的周長是否有最小值？若有，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)并直接寫出四邊形CDPQ周長的最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2-x+4．（2）2．（3）2+2+2．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和tan∠BAO=2求得AO=2，BO=4，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可．

（2）首先根據(jù)拋物線的對稱軸求得點(diǎn)A的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)B的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，4），從而求得BE的長，得到EF的長即可；

（3）作點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)D1（1，6），點(diǎn)C向右平移2個單位得到C1（-1，0），連接C1D1與直線l交于點(diǎn)P，點(diǎn)P向左平移兩個單位得到點(diǎn)Q，四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（2，0），tan∠BAO=2，

∴AO=2，BO=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．

∵拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)A，B，

∴，

解得，

∴此拋物線的解析式為y=-x2-x+4．

（2）∵拋物線對稱軸為直線x=-，

∴點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），

點(diǎn)B的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，4），

∵BC是⊙M的直徑，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，2），

如圖1，過點(diǎn)M作MG⊥FB，則GB=GF，

∵M（-，2），

∴BG=，

∴BF=2BG=3，

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，4），

∴BE=1，

∴EF=BF-BE=3-1=2．

（3）四邊形CDPQ的周長有最小值．

理由如下：∵BC===5，

AC=CO+OA=3+2=5，

∴AC=BC，

∵BC為⊙M直徑，

∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，

∴D為AB中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．

如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)D1（1，6），點(diǎn)C向右平移2個單位得到C1（-1，0），連接C1D1與直線l交于點(diǎn)P，點(diǎn)P向左平移2個單位得到點(diǎn)Q，四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形．

設(shè)直線C1D1的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），

∴，，

∴直線C1D1的表達(dá)式為y=3x+3，

∵yp=4，

∴xp=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）；

C四邊形CDPQ最小=2+2+2．