Question

【題目】如圖，ABCD為平行四邊形，DFEC和BCGH為正方形．求證：AC⊥EG．

Answer 1

【答案】證明：∵四邊形BCGH、EFDC為正方形，四邊形ABCD為平行四邊形， ∴GC∥BH，DC∥AB，∠HBC=∠ECD=90°，
∴∠HBA=∠GCD（兩邊分別平行的兩角相等或互補），
∴∠HBC+∠HBA=∠GCD+∠ECD，即90°+∠HBA=∠GCD+90°，
∴∠GCE=∠ABC，
∴AB=DC=EC，BC=CG，
在△ABC和和△ECG中，
，
∴△ABC≌△ECG（SAS），
∴∠CGE=∠ACB，
∵∠ACB+∠GCA=90°，
∴∠CGE+∠GCA=90°，
∴AC⊥EG．

【解析】本題中要證AC⊥EG也就是證∠CGE+∠GCA=90°，我們發現∠GBA+∠ACB=90°，因此證明∠CGE=∠ACB就是問題的關鍵，我們可通過證明三角形ABC和ECG全等來實現．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和正方形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．