Question

【題目】(1)如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，為了探究BD，DE，CE之間的等量關系，現將△AEC繞A順時針旋轉90°后成△AFB，連接DF，經探究，你所得到的BD，DE，CE之間的等量關系式是 ；(無須證明)

(2)如圖2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝60°，∠ADE＝45°，試仿照(1)的方法，利用圖形的旋轉變換，探究BD，DE，CE之間的等量關系，并證明你的結論．

　　　　　　

Answer 1

【答案】(1) BD2＋CE2＝DE2； (2) BD2＋DE2＝CE2，證明見解析.

【解析】

（1）將△AEC繞A順時針旋轉90°后成△AFB，可證△AEC≌△AFB，故BF＝CE，旋轉角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，故∠FAD＝∠FAE∠DAE＝45°，易證△AFD≌△AED，故FD＝DE，因為△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠FAB＝45°，從而可得∠FAD＝90°，在Rt△FBD中，由勾股定理得線段BD、DE、CE之間的等量關系式；

（2）方法同（1），由∠ADE＝45°可得∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，斜邊BF＝CE，直角邊DF＝DE，由勾股定理建立等量關系．

(1) BD2＋CE2＝DE2；

(2)CE2＝BD2＋DE2.

證明：將△AEC繞點A順時針旋轉120 °得到△AFB，連接FD.

由旋轉的性質可得△AEC≌△AFB，∴AF＝AE，BF＝CE，∠FAB＝∠EAC.

∴∠FAE＝∠FAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC＝120 °.

又∵∠DAE＝60 °，

∴∠FAD＝∠EAD＝60 °.

在△ADF和△ADE中，

∴△ADF≌△ADE(SAS)．

∴FD＝DE，∠ADF＝∠ADE.

∵∠ADE＝45 °，

∴∠ADF＝45 °，故∠BDF＝90 °.

在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2＋DF2.

∴CE2＝BD2＋DE2.