Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點C.拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－，且經過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B.

(1)①直接寫出點B的坐標；②求拋物線的解析式．

(2)拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)①點B的坐標為(1，0)；②y＝－x2－x＋2；(2)存在點M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以點A，M，N為頂點的三角形與△ABC相似.

【解析】【試題分析】（1）①先求的直線y=x+2與x軸、y軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；②設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x﹣1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；（3）證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②根據拋物線的對稱性，當M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC；③當點M在第四象限時，解題時，需要注意相似三角形的對應關系．

試題解析：

(1)①對于直線y＝x＋2，當x＝0時，y＝2；當y＝0時，x＝－4，

∴C(0，2)，A(－4，0)，

由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于直線x＝－對稱，

∴點B的坐標為(1，0)；

②∵拋物線y＝ax2＋bx＋c過A(－4，0)，B(1，0)，

∴可設拋物線解析式為y＝a(x＋4)(x－1)，

又∵拋物線過點C(0，2)，

∴2＝－4a，

∴a＝－，

∴y＝－x2－x＋2　

(2)在Rt△AOC中，易知△ABC∽△ACO∽△CBO，

如圖，①當M點與C點重合，即M(0，2)時，△MAN∽△BAC；

②根據拋物線的對稱性，當M(－3，2)時，△MAN∽△ABC；

③當點M在第四象限時，設M(n，－ n2－n＋2)，則N(n，0)，

∴MN＝n2＋n－2，AN＝n＋4，

當＝時，MN＝AN，即n2＋n－2＝ (n＋4)，

整理得n2＋2n－8＝0，解得n1＝－4(舍)，n2＝2，

∴M(2，－3)；

當＝時，MN＝2AN，即n2＋n－2＝2(n＋4)，

整理得n2－n－20＝0解得n1＝－4(舍)，n2＝5，

∴M(5，－18)．

綜上所述，存在點M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以點A，M，N為頂點的三角形與△ABC相似.