Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在函數(shù)y1= （x＞0）與y2=﹣ （x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標分別為a、b．

（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；
（2）若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作邊長為2的正方形ACDE，使AC∥x軸，點D在點A的左上方，那么，對大于或等于3的任意實數(shù)a，CD邊與函數(shù)y1= （x＞0）的圖象都有交點，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知，點A（a， ），B（b，﹣ ），

∵AB∥x軸，

∴ ，

∴a=﹣b；

∴AB=a﹣b=2a，

∴S△OAB= 2a =3

（2）

解：由（1）知，點A（a， ），B（b，﹣ ），

∴OA2=a2+（ ）2，OB2=b2+（﹣ ）2，

∵△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴OA2=OB2，

∴a2+（ ）2=b2+（﹣ ）2，

∴a2﹣b2=（ ）2﹣（ ）2，

∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（ ﹣ ）= ，

∵a＞0，b＜0，

∴ab＜0，a﹣b≠0，

∵a+b≠0，

∴1= ，

∴ab=3（舍）或ab=﹣3，

即：ab的值為﹣3；

（3）

解：對大于或等于3的任意實數(shù)a，CD邊與函數(shù)y1= （x＞0）的圖象都有交點．

理由：如圖，

∵a≥3，AC=2，

∴直線CD在y軸右側(cè)且平行于y軸，

∴直線CD一定與函數(shù)y1= （x＞0）的圖象有交點，

∵四邊形ACDE是邊長為2的正方形，且點D在點A（a， ）的左上方，

∴C（a﹣2， ），

∴D（a﹣2， +2），

設(shè)直線CD與函數(shù)y1= （x＞0）相交于點F，

∴F（a﹣2， ），

∴FC= ﹣ = ，

∴2﹣FC=2﹣ = ，

∵a≥3，

∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，

∴ ≥0，

∴2﹣FC≥0，

∴FC≤2，

∴點F在線段CD上，

即：對大于或等于3的任意實數(shù)a，CD邊與函數(shù)y1= （x＞0）的圖象都有交點．

【解析】（1）先判斷出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（2）利用等腰三角形的兩腰相等建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出直線CD和函數(shù)y1= （x＞0）必有交點，根據(jù)點A的坐標確定出點C，F(xiàn)的坐標，進而得出FC，再判斷FC與2的大小即可．
【考點精析】通過靈活運用反比例函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的判定，掌握性質(zhì):當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等即可以解答此題．