Question

【題目】如圖1，拋物線(xiàn)，其中，點(diǎn)A（-2，m）在該拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l∥x軸，與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求m的值.

（2）當(dāng)a=2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

（3）如圖2，以OB為對(duì)角線(xiàn)作菱形OPBQ，頂點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，頂點(diǎn)Q在x軸上.

①若PB=2AP，求a的值.

②菱形OPBQ的面積的最小值是 .

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-4（a-1）=4（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,4）（3）① ②菱形的最小面積=16

【解析】（1）把x=-2代入拋物線(xiàn)即可得到y(tǒng)的值；（2）先求出拋物線(xiàn)表達(dá)式，然后求出x的解；（3）利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)和a的值以及菱形OPBQ的面積的最小值.

解：（1）當(dāng)x=-2時(shí)，

（2）當(dāng)a=2時(shí)，拋物線(xiàn)表達(dá)式為

當(dāng)y=4時(shí)，，

解得

把-2舍去，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,4）

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，設(shè)CP=x，則AP=2+x,BP=OP=4+2x

在Rt△OCP中，，

解得

∴CP=0，CB=PB=4，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,4）

由題可知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸：直線(xiàn)

又由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則，解得

當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)BA上時(shí)，設(shè)CP=x，則AP=x-2,BP=OP=2x-4

在Rt△OCP中， ，解得（舍去），，

∴CP=，PB=，CB=點(diǎn)B的坐標(biāo)是（,4）

由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則，解得

②菱形的最小面積=16

“點(diǎn)睛”本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)求出a的值，會(huì)運(yùn)用方程的思想解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．