Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的動點且BD=CE，連接AD與BE相交于點F，連接CF，下列結論：①△ABD≌△BCE；②∠AFB=120°；③若BD=CD，則FA=FB=FC；④∠AFC=90°，則AF=3BF，其中正確的結論共有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據等邊三角形的性質可得∠C=∠ABC=60°，AB=BC，利用SAS可證明△ABD≌△BCE，可判定①正確；根據全等三角形的性質可得∠BAD=∠EBC，利用三角形外角性質可得∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠ABC=60°，根據平角的定義可得∠AFB=120°，可判定②正確；由BD=CD，BD=CE可得點D、E為BC、AC的中點，根據等邊三角形的性質可得AD、BE是BC、AC的垂直平分線，根據垂直平分線的性質可判定③正確；過點A作AG⊥BE于G，利用SAS可證明△ABE≌△ADC，根據全等三角形對應邊上的高對應相等可得AG=CF，利用HL可證明△ABG≌△ACF，可得AF=BG，由∠AFE=60°可得∠FAG=30°，根據含30°角的直角三角形的性質可得AF=2FG，可得AF=BG=2FG=2BF，即可判定④錯誤.綜上即可得答案.

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△BCE，故①正確，

∴∠BAD=∠CBE，

∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，

∴∠AFB=180°-∠AFE=120°，故②正確，

∵BD=CD，BD=CE，

∴點D、E為BC、AC的中點，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BE、AD是BC、AC的垂直平分線，

∴FA=FB=FC，故③正確，

過點A作AG⊥BE于G，

∵BD=CE，BC=AC，

∴CD=AE，

在△ABE和△ADC中，，

∴△ABE≌△ADC，

∵∠AFC=90°，AG⊥BE，

∴AG、CF是BE和AD邊上的高，

∴AG=CF，

在△ABG和△ACF中，，

∴△ABG≌△ACF，

∴AF=BG，

∵AG⊥BE，∠AFE=60°，

∴∠FAG=30°，

∴AF=2FG，

∴BG=2FG，

∴BF=FG，

∴AF=2BF，故④錯誤，

綜上所述：正確的結論有①②③，共3個，

故選C.