Question

【題目】（探究）如圖①，∠AFH和∠CHF的平分線交于點O，EG經過點O且平行于FH，分別與AB、CD交于點E、G．

(1)若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，則∠EOF＝_____度，∠FOH＝_____度．

(2)若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度數．

（拓展）如圖②，∠AFH和∠CHI的平分線交于點O，EG經過點O且平行于FH，分別與AB、CD交于點E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接寫出∠FOH的度數．(用含a的代數式表示)

Answer 1

【答案】【探究】（1）30，125；（2）∠FOH＝130°；【拓展】∠FOH＝90°﹣α．

【解析】

（1）先根據角平分線的定義求出∠OFH，∠FHO 的度數，再根據三角形的內角和定理求出∠FOH的度數；

（2）先根據角平分線的定義求出∠OFH+∠FHO 的度數，再根據三角形的內角和定理求出∠FOH的度數；

（拓展） 先根據角平分線的定義求出∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝（180°-∠CHF），再根據兩直線平行內錯角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可。

（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，

∴∠OFH＝30°，

又∵EG∥FH，

∴∠EOF＝∠OFH＝30°（兩直線平行內錯角相等）；

∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，

∴∠FHO＝25°，

∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°（三角形的內角和定理）；

故答案為：30，125；

（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，

∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．

∵∠AFH+∠CHF＝100°，

∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．

∵EG∥FH，

∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF（兩直線平行內錯角相等）.

∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．

∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°（三角形的內角和定理），

∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH ）＝180°﹣50°＝130°．

拓展∵∠AFH和∠CHI的平分線交于點O，

∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，

∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH

＝（∠CHI﹣∠AFH）

＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）

＝（180°﹣α）

＝90°﹣α．

【探究】

（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，

∴∠OFH＝30°，

又∵EG∥FH，

∴∠EOF＝∠OFH＝30°；

∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，

∴∠FHO＝25°，

∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°；

故答案為：30，125；

（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，

∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．

∵∠AFH+∠CHF＝100°，

∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．

∵EG∥FH，

∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF．

∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．

∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°，

∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH ）＝180°﹣50°＝130°．

拓展∵∠AFH和∠CHI的平分線交于點O，

∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，

∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH

＝（∠CHI﹣∠AFH）

＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）

＝（180°﹣α）

＝90°﹣α．