Question

【題目】如圖，O是等邊△ABC的外心，BO的延長線和⊙O相交于點D，連接DC，DA，OA，OC．

（1）求證：△BOC≌△CDA；

（2）若AB=，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S陰影部分=π﹣．

【解析】試題分析：

（1）如圖1，由點O是等邊△ABC的外心可證得∠1=∠2=30°，由圓周角定理可得：∠5=∠1=30°，∠6=∠2=30°，由OB=OC可得∠3=∠2=30°，結合BC=AC可用“ASA”證得△BOC≌△CDA；

（2）如圖2，過點O作OH⊥AB于點H，則由此可得：BH=AB=，∠OHB=90°，設OB= ，則由∠1=30°可得OH= ，在Rt△OHB中由勾股定理建立方程，解方程即可求得；由OB=OA可得∠OAB=∠1=30°，從而可得∠AOB=120°，這樣由S陰影 =S扇形AOB-S△AOB即可求出陰影部分的面積了.

試題解析：

（1）證明：如圖1所示：

∵O是等邊△ABC的外心，

∴BD垂直平分AC

∴∠1=∠2=30°，

∴∠1=∠5=30°，∠2=∠6=30°

∵BO=CO

∴∠2=∠3=30°

∵BC=AC

∴△BOC≌△CDA（SAS）；

（2）如圖2所示，作OH⊥AB于H，

∴BH=AB=，∠OHB=90°，

設OB= ，∵∠1=30°，

∴OH= ，

∴在Rt△OHB中，由勾股定理可得： ，解得： ，則OH=.

∵∠1=30°，OA=OB，

∴∠BAO=∠1=30°，

∴∠AOB=180°-30°-30°=120°，

∴S陰影部分=S扇形AOB﹣S△AOB．