Question

【題目】若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫做這個四邊形的“巧分線”，這個四邊形叫“巧妙四邊形”，若一個四邊形有兩條巧分線，則稱為“絕妙四邊形”．

（1）下列四邊形一定是巧妙四邊形的是　 　；（填序號點①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．

初步應用

（2）在絕妙四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，則∠BCD＝　 　；

深入研究

（3）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求證：梯形ABCD是絕妙四邊形．

（4）在巧妙四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四邊形ABCD的巧分線，請直接寫出∠BCD的度數．

Answer 1

【答案】（1）③④；（2）140°或80°或160°；（3）見解析；（4）∠BCD的度數是45°或135°或90°

【解析】

（1）由巧妙四邊形的定義，即可得到菱形和正方形是巧妙四邊形；

（2）根據絕妙四邊形的定義可知：兩條對角線都是巧分線，分情況畫圖進行計算可得結論；

（3）首先根據題意畫出圖形，然后分別證明兩條對角線分成的三角形是等腰三角形即可；

（4）根據AC是四邊形ABCD的巧分線，可知：△ACD和△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形時分三種情況畫圖進行討論可得結論．

解：（1）∵菱形的四條邊相等，

∴連接對角線能得到兩個等腰三角形，

∴菱形是巧妙四邊形；

正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四邊形；

故答案是：③④；

（2）分三種情況，

①當AC＝AD＝AB時，如圖1，

∵AC垂直平分BD，

∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∵∠BAD＝80°，

∴∠BAC＝∠DAC＝40°，

∵AC＝AD＝AB，

∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，

∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；

②當AD＝CD，AB＝BC時，如圖2，

∵AC垂直平分BD，

∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，

∴AB＝AD＝CD＝BC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴∠BCD＝∠BAD＝80°；

③在四邊形ABCD中，AC＝CD＝BC，如圖3，

∴∠CAD＝∠ADC＝40°

∴∠ACD＝∠ACB＝100°

∴∠BCD＝360°﹣100°﹣100°＝160°；

綜上，∠BCD＝140°或80°或160°；

故答案為：140°或80°或160°；

（3）如圖4，連接AC與BD，交于點O，

在梯形ABCD中，AB＝CD，

∴∠ABC＝∠DCB＝72°，

∵AD∥BC，

∴∠BAD＝∠ADC＝108°，

∵AB＝AD＝CD，

∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°，

∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB，

∴△BDC也是等腰三角形，

∴對角線BD叫做這個四邊形ABCD的“巧分線”，

同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，

∴對角線AC叫做這個四邊形ABCD的“巧分線”，

∴梯形ABCD是絕妙四邊形；

（4）∵AC是四邊形ABCD的巧分線，

∴△ACD和△ABC是等腰三角形，

①當AC＝BC時，如圖5，過C作CH⊥AB于H，過C作CG⊥AD，交AD的延長線于G，

∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°，

∴四邊形AHCG是矩形，

∴AH＝CG＝AB＝CD，

∴∠CDG＝30°，

∴∠ADC＝150°，

∴∠DAC＝∠DCA＝15°，

∵∠DAB＝90°，

∴∠CAB＝∠B＝75°，

∴∠ACB＝30°，

∴∠BCD＝30°+15°＝45°；

②當AC＝AB時，如圖6，

∵AC＝AB＝AD＝CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠CAD＝∠ACD＝60°，

∵∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝30°，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝75°，

∴∠BCD＝75°+60°＝135°；

③當AB＝BC時，如圖7，此時∠BCD＝90°

綜上，∠BCD的度數是45°或135°或90°．