Question

【題目】（1）如圖①，在等邊△ABC中，點M是BC邊上的任意一點（不含端點B，C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ACN=∠ABC．

【類比探究】

（2）如圖②，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ACN=∠ABC還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】

（3）如圖③，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）∠ACN=∠ABC還成立；（3）∠ABC=∠ACN．

【解析】試題分析：（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論；

（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣．

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，即可得出結論．

試題解析：解：（1）∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△BAM和△CAN中，∵AB=AC，∠BAM=∠CAN，AM=AN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（2）結論∠ABC=∠ACN仍成立；

理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△BAM和△CAN中，∵AB=AC，∠BAM=∠CAN，AM=AN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（3）∠ABC=∠ACN；

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴ ，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．