Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑．PC是⊙O的切線(xiàn)，C為切點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．

（1）求證：∠PCE＝∠PEC；

（2）若AB＝10，ED＝，sinA＝，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）PC＝．

【解析】

（1）由弦切角定理可知∠PCA＝∠B，由直角所對(duì)的圓周角等于90°可知∠ACB＝90°．由同角的余角相等可知∠AED＝∠B，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可知∠PCE＝∠PEC；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為F．由銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理可求得AC＝8，AE＝，由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可知EF＝，然后證明△AED∽△PEF，由相似三角形的性質(zhì)可求得PE的長(zhǎng)，從而得到PC的長(zhǎng)．

（1）∵PC是圓O的切線(xiàn)，

∴∠PCA＝∠B．

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ACB＝90°．

∴∠A+∠B＝90°．

∵PD⊥AB，

∴∠A+∠AED＝90°．

∴∠AED＝∠B．

∵∠PEC＝∠AED，

∴∠PCE＝∠PEC．

（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為F．

∵AB＝10，sinA＝，

∴BC＝AB＝6．

∴AC＝＝8．

∵DE＝，sinA＝，

∴AE＝．

∴EC＝AC﹣AE＝8﹣＝．

∵PC＝PE，PF⊥EC，

∴EF＝．

∵∠AED＝∠PEF，∠EDA＝∠EFP，

∴△AED∽△PEF．

∴，．

解得：EP＝．

∴PC＝．