Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

(1)、如圖1，若D是BC邊上的中點，∠A=45°，DF=3，求AC的長；

(2)、如圖2，D是線段BC上的任意一點，求證：BG=DE+DF；

(3)、在圖3，D是線段BC延長線上的點，猜想DE、DF與BG的關系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)、AC=6；(2)、證明過程見解析；(3)、DE﹣DF=BG；證明過程見解析.

【解析】

試題分析：(1)、連結AD，根據△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積得出BG=DE+DF，根據角平分線的性質得出BG=6，根據等腰直角三角形的性質得出AC的長度；(2)、連結AD，根據△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積得出線段之間的關系；(3)、連結AD，根據△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積得出線段之間的關系.

試題解析：(1)、如圖1，連結AD．則△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，

即ABDE+ACDF=ACBG， ∵AB=AC，∴DE+DF=BG， ∵D是BC邊上的中點，∴AD平分∠BAC，

∴DE=DF=3，∴BG=6， ∵∠A=45°，∴△AGB是等腰直角三角形， ∴AB=BG=6，∴AC=6；

(2)、如圖2，連結AD．則△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，

即ABDE+ACDF=ACBG， ∵AB=AC，∴DE+DF=BG；

(3)、DE﹣DF=BG，

如圖3，連接AD，則△ABC的面積=△ABD的面積﹣△ACD的面積， 即ABDE﹣ACDF=ACBG，

∵AB=AC，∴DE﹣DF=BG．