Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=45°，BD⊥AC，垂足為D點，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，點G為AB的中點，連接DG，交AE于點H，

（1）求∠ACB的度數；

（2）HE=AF

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：(1)利用等邊對等角可證：∠ACB=∠ABC，根據三角形內角和定理可以求出∠ACB的度數；

(2)連接HB，根據垂直平分線的性質可證AE⊥BC，BE=CE，再根據ASA可證：Rt△BDC≌Rt△ADF，根據全等三角形的性質可證：BC=AF，從而可以求出HE=BE=BC，因為AF=BC，所以可證結論成立.

試題解析：(1）∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵∠BAC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=（180°－∠BAC）=（180°－45°）=67.5°；

(2)連結HB，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，BE=CE，

∴∠CAE＋∠C=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠CBD＋∠C=90°，

∴∠CAE=∠CBD，

∵BD⊥AC，D為垂足，

∴∠DAB＋∠DBA=90°，

∵∠DAB=45°，

∴∠DBA=45°，

∴∠DBA=∠DAB ，

∴DA=DB，

在Rt△BDC和Rt△ADF中，

∴Rt△BDC≌Rt△ADF (ASA)，

∴BC=AF，

∵DA=DB，點G為AB的中點，

∴DG垂直平分AB，

∵點H在DG上，

∴HA=HB，

∴∠HAB=∠HBA=∠BAC=22.5°，

∴∠BHE=∠HAB ＋∠HBA =45°，

∴∠HBE=∠ABC－∠ABH=67.5°－22.5°=45°，

∴∠BHE=∠HBE，

∴HE=BE=BC，

∵AF=BC，

∴HE=AF.