Question

【題目】如圖，點A，B，C，D是直徑為AB的⊙O上的四個點，C是劣弧 的中點，AC與BD交于點E．
（1）求證：DC2=CEAC；
（2）若AE=2，EC=1，求證：△AOD是正三角形；
（3）在（2）的條件下，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點H，求△ACH的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵C是劣弧 的中點，

∴∠DAC=∠CDB，

∵∠ACD=∠DCE，

∴△ACD∽△DCE，

∴ = ，

∴DC2=CEAC

（2）證明：∵AE=2，EC=1，

∴AC=3，

∴DC2=CEAC=1×3=3，

∴DC= ，

連接OC、OD，如圖所示：

∵C是劣弧 的中點，

∴OC平分∠DOB，BC=DC= ，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AB= =2 ，

∴OB=OC=OD=DC=BC= ，

∴△OCD、△OBC是正三角形，

∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，

∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD是正三角形

（3）解：∵CH是⊙O的切線，∴OC⊥CH，

∵∠COH=60°，

∴∠H=30°，

∵∠BAC=90°﹣60°=30°，

∴∠H=∠BAC，

∴AC=CH=3，

∵AH=3 ，AH上的高為BCsin60°= ，

∴△ACH的面積= ×3 × =

【解析】（1）由圓周角定理得出∠DAC=∠CDB，證明△ACD∽△DCE，得出對應邊成比例，即可得出結論；（2）求出DC= ，連接OC、OD，如圖所示：證出BC=DC= ，由圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB= =2 ，得出OB=OC=OD=DC=BC= ，證出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出結論；（3）由切線的性質得出OC⊥CH，求出∠H=30°，證出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面積公式即可得出答案．