Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，且經過點A（0， ）
（1）若此拋物線經過點B（2，﹣ ），且與x軸相交于點E，F．
①填空：b=（用含a的代數式表示）；
（2）若a= ，當0＜x＜1，拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）[ "﹣2a﹣1
②當EF2的值最小時，求拋物線的解析式；
解：由①可得拋物線解析式為y=ax2﹣（2a+1）x+ ，
令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+ =0，
∵△=（2a+1）2﹣4a× =4a2﹣2a+1=4（a﹣ ）2+ ＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根，設為x1、x2 ，
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∴EF2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= =（ ﹣1）2+3，
∴當a=1時，EF2有最小值，即EF有最小值，
∴拋物線解析式為y=x2﹣3x+ （2）

解：當a= 時，拋物線解析式為y= x2+bx+ ，

∴拋物線對稱軸為x=﹣b，

∴只有當x=0、x=1或x=﹣b時，拋物線上的點才有可能離x軸最遠，

當x=0時，y= ，當x=1時，y= +b+ =2+b，當x=﹣b時，y= （﹣b）2+b（﹣b）+ =﹣ b2+ ，

①當|2+b|=3時，b=1或b=﹣5，且頂點不在0＜x＜1范圍內，滿足條件；

②當|﹣ b2+ |=3時，b=±3，對稱軸為直線x=±3，不在0＜x＜1范圍內，故不符合題意，

綜上可知b的值為1或﹣5

【解析】解：（1.）①∵拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，且經過點A（0， ），
∴c= ，
∵拋物線經過點B（2，﹣ ），
∴﹣ =4a+2b+ ，
∴b=﹣2a﹣1，
所以答案是：﹣2a﹣1；