Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們定義直線y=ax﹣a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．

已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+2 與其“夢想直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C．
（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為 ， 點A的坐標為 ， 點B的坐標為；
（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標；
（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x+ ；（﹣2，2 ）；（1，0）
（2）

解：如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，

在y=﹣ x2﹣ x+2 中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2 ），

∴AC= = ，

由翻折的性質可知AN=AC= ，

∵△AMN為夢想三角形，

∴N點在y軸上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，

∵OD=2 ，

∴ON=2 ﹣3或ON=2 +3，

∴N點坐標為（0，2 ﹣3）或（0，2 +3）

（3）

解：①當AC為平行四邊形的邊時，如圖2，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，

則有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∴△ACK≌△EFH（AAS），

∴FH=CK=1，HE=AK=2 ，

∵拋物線對稱軸為x=﹣1，

∴F點的橫坐標為0或﹣2，

∵點F在直線AB上，

∴當F點橫坐標為0時，則F（0， ），此時點E在直線AB下方，

∴E到y軸的距離為EH﹣OF=2 ﹣ = ，即E點縱坐標為﹣ ，

∴E（﹣1，﹣ ）；

當F點的橫坐標為﹣2時，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當AC為平行四邊形的對角線時，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2 ），

∴線段AC的中點坐標為（﹣2.5， ），

設E（﹣1，t），F（x，y），

則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2 ，

∴x=﹣4，y=2 ﹣t，

代入直線AB解析式可得2 ﹣t=﹣ ×（﹣4）+ ，解得t=﹣ ，

∴E（﹣1，﹣ ），F（﹣4， ）；

綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（﹣1，﹣ ）、F（0， ）或E（﹣1，﹣ ）、F（﹣4， ）．

【解析】解：（1）∵拋物線y=﹣ x2﹣ x+2 ，
∴其夢想直線的解析式為y=﹣ x+ ，
聯立夢想直線與拋物線解析式可得 ，解得 或 ，
∴A（﹣2，2 ），B（1，0），
【考點精析】掌握平行四邊形的判定與性質和翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．