Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點（不與點A重合），延長ME交CD的延長線于點N，連接MD，AN．

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形．
（2）當AM的值為何值時，四邊形AMDN是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，

∵點E是AD中點，

∴DE=AE，

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（AAS），

∴ND=MA，

∴四邊形AMDN是平行四邊形

（2）AM=1．

理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=2，

∵平行四邊形AMDN是矩形，

∴DM⊥AB，

即∠DMA=90°，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM= AD=1

【解析】（1）根據菱形的性質可得ND∥AM，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據中點的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據全等三角形對應邊相等得到ND=MA，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；（2）根據矩形的性質得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．