Question

【題目】如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A，B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點，

∴可得A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c得： ，

解得： ．

∴拋物線解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）

解：令y=0得：0=x2+2x﹣3，

解得：x1=1，x2=﹣3，

則C點坐標為：（﹣3，0），AC=4，

故可得S△ABC= AC×OB= ×4×3=6

（3）

解：存在，理由如下：

拋物線的對稱軸為：x=﹣1，假設存在M（﹣1，m）滿足題意：

討論：

①當MA=AB時，

∵OA=1，OB=3，

∴AB= ，

，

解得： ，

∴M1（﹣1， ），M2（﹣1，﹣ ）；

②當MB=BA時， ，

解得：M3=0，M4=﹣6，

∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合題意舍去），

③當MB=MA時， ，

解得：m=﹣1，

∴M5（﹣1，﹣1），

答：共存在4個點M1（﹣1， ），M2（﹣1，﹣ ），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM為等腰三角形

【解析】（1）根據直線解析式求出點A及點B的坐標，然后將點A及點B的坐標代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式；（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點C的坐標，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計算；（3）根據點M在拋物線對稱軸上，可設點M的坐標為（﹣1，m），分三種情況討論，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．