Question

【題目】如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，FC．
（1）求證：∠FBC=∠FCB；
（2）已知FAFD=12，若AB是△ABC外接圓的直徑，FA=2，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形AFBC內接于圓，

∴∠FBC+∠FAC=180°，

∵∠CAD+∠FAC=180°，

∴∠FBC=∠CAD，

∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，

∴∠EAD=∠CAD，

∵∠EAD=∠FAB，

∴∠FAB=∠CAD，

又∵∠FAB=∠FCB，

∴∠FBC=∠FCB；

（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，

又∵∠FCB=∠FAB，

∴∠FAB=∠FBC，

∵∠BFA=∠BFD，

∴△AFB∽△BFD，

∴ ，

∴BF2=FAFD=12，

∴BF=2 ，

∵FA=2，

∴FD=6，AD=4，

∵AB為圓的直徑，

∴∠BFA=∠BCA=90°，

∴tan∠FBA= = = ，

∴∠FBA=30°，

又∵∠FDB=∠FBA=30°，

∴CD=ADcos30°=4× =2 ．

【解析】（1）由圓內接四邊形的性質和鄰補角關系證出∠FBC=∠CAD，再由角平分線和對頂角相等得出∠FAB=∠CAD，由圓周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出結論；（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圓周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，證出△AFB∽△BFD，得出對應邊成比例求出BF，得出FD、AD的長，由圓周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函數求出∠FBA=30°，再由三角函數求出CD的長即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的外接圓與外心和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．