Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F．

（1）求證：AE=EF；

（2）如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？　　；（填“成立”或“不成立”）；

（3）如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立請證明，若不成立說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立；（3）成立，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）取AB中點M，連接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根據ASA推出△AME和△ECF全等即可；

（2）截取BE=BM，連接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根據ASA推出△AME和△ECF全等即可；

（3）在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，連接NE，根據已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因為全等三角形的對應邊相等，所以AE=EF．

試題解析：（1）證明：取AB中點M，連接EM，

∵AB=BC，E為BC中點，M為AB中點，

∴AM=CE=BE，

∴∠BME=∠BME=45°，

∴∠AME=135°=∠ECF，

∵∠B=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF；

（2）成立，

理由是：如圖，在AB上截取BM=BE，連接ME，

∵∠B=90°，

∴∠BME=∠BEM=45°，

∴∠AME=135°=∠ECF，

∵AB=BC，BM=BE，

∴AM=EC，

在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF；

（3）成立．

證明：如圖，在BA的延長線上取一點N．使AN=CE，連接NE，

∴BN=BE，

∴∠N=∠NEC=45°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠FCE=45°，

∴∠N=∠ECF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，

∴∠NAE=∠CEF，

∴△ANE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．