Question

【題目】等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．
（1）若AE=CF； ①求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；
②若AE=2，試求APAF的值；
（2）若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，

又∵AE=CF，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．

∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，

∴ ，即 ，所以APAF=1

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況．

①當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，

∴∠AOB=120°，

又∵AB=6，

∴OA= ，

點(diǎn)P的路徑是 ．

②當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)C向AB作的垂線段的長度；因?yàn)榈冗吶�角形ABC的邊長為6，所以點(diǎn)P的路徑為： ．

所以，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為 或3 ．

【解析】（1）①證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得 的比值，即可以得到答案．（2）當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案．點(diǎn)F靠近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)B向AC做的垂線段的長度；
【考點(diǎn)精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．