Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法中正確的序號是_____．

①△ABE的面積等于△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據三角形內角和定理求出∠ABC=∠CAD，根據三角形的外角性質即可推出②；根據三角形內角和定理求出∠FAG=∠ACD，根據角平分線定義即可判斷③；根據等腰三角形的判定判斷④即可．

解：∵BE是中線，
∴AE=CE，
∴△ABE的面積=△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；
∵CF是角平分線，
∴∠ACF=∠BCF，
∵AD為高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，故②正確；
∵AD為高，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分線，
∴∠ACB=2∠ACF，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，故③正確；
根據已知條件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④錯誤；
故答案為：①②③．