Question

【題目】已知如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動（點P不與點A重合），過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；
（3）△APD能否構成直角三角形？若能請直接寫出點P坐標，若不能請說明理由；
（4）在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MA﹣MC|最大？若存在請求出點M的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3

（2）

解：令x=0，則y=3，

∴點C（0，3），

則直線AC的解析式為y=﹣x+3，

設點P（x，x2﹣4x+3），

∵PD∥y軸，

∴點D（x，﹣x+3），

∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∵a=﹣1＜0，

∴當x= 時，線段PD的長度有最大值

（3）

解：如圖

①∠APD是直角時，點P與點B重合，

此時，點P（1，0），

②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的頂點坐標為（2，﹣1），

∵A（3，0），

∴點P為在拋物線頂點時，∠PAD=45°+45°=90°，

此時，點P（2，﹣1），

綜上所述，點P（1，0）或（2，﹣1）時，△APD能構成直角三角形

（4）

解：由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，

∴MA=MB，

由三角形的三邊關系，|MA﹣MC|＜BC，

∴當M、B、C三點共線時，|MA﹣MC|最大，為BC的長度，

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則 ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3，

∵拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸為直線x=2，

∴當x=2時，y=﹣3×2+3=﹣3，

∴點M（2，﹣3），

即，拋物線對稱軸上存在點M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大

【解析】（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；（2）求出點C的坐標，再利用待定系數法求出直線AC的解析式，再根據拋物線解析式設出點P的坐標，然后表示出PD的長度，再根據二次函數的最值問題解答；（3）①∠APD是直角時，點P與點B重合，②求出拋物線頂點坐標，然后判斷出點P為在拋物線頂點時，∠PAD是直角，分別寫出點P的坐標即可；（4）根據拋物線的對稱性可知MA=MB，再根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點M為直線CB與對稱軸交點時，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求解即可．