Question

【題目】長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是a°/秒，燈B轉動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a-3b|+（a+b-4）=0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

（1）求a、b的值；

（2）若燈B射線先轉動20秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

（3）如圖2，兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉動過程中，∠BAC與∠BCD的數量關系是否發生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請求出其取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=3，b=1；（2）A燈轉動10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC與∠BCD的數量關系不發生變化，2∠BAC＝3∠BCD.

【解析】

（1）根據非負數的性質列方程組求解即可；

（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況：①在燈A射線到達AN之前；②在燈A射線到達AN之后，分別列出方程求解即可；

（3）設A燈轉動時間為t秒，則∠CAN＝180°3t，∠BAC＝∠BAN∠CAN＝3t135°，過點C作CF∥PQ，則CF∥PQ∥MN，得出∠BCA＝∠CBD＋∠CAN＝180°2t，∠BCD＝∠ACD∠BCA＝2t90°，即可得出結果．

解：（1）∵|a-3b|+（a+b-4）=0，

∴，

解得：，

故a=3，b=1；

（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，

①在燈A射線到達AN之前，由題意得：3t＝（20＋t）×1，

解得：t＝10，

②在燈A射線到達AN之后，由題意得：3t180°＝180°（20＋t）×1，

解得：t＝85，

綜上所述，A燈轉動10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；

（3）∠BAC與∠BCD的數量關系不發生變化，2∠BAC＝3∠BCD；

理由：設A燈轉動時間為t秒，則∠CAN＝180°3t，

∴∠BAC＝∠BAN∠CAN＝45°（180°3t）＝3t135°，

∵PQ∥MN，

如圖2，過點C作CF∥PQ，則CF∥PQ∥MN，

∴∠BCF＝∠CBD，∠ACF＝∠CAN，

∴∠BCA＝∠BCF＋∠ACF＝∠CBD＋∠CAN＝t＋180°3t＝180°2t，

∵CD⊥AC，

∴∠ACD＝90°，

∴∠BCD＝∠ACD∠BCA＝90°（180°2t）＝2t90°，

∴2∠BAC＝3∠BCD.