Question

【題目】某商店購進甲、乙兩種商品，甲的進貨單價比乙的進貨單價高20元，已知20個甲商品的進貨總價與25個乙商品的進貨總價相同．

（1）求甲、乙商品的進貨單價；

（2）若甲、乙兩種商品共進貨100件，要求兩種商品的進貨總價不高于9000元，同時甲商品按進價提高10%后的價格銷售，乙商品按進價提高25%后的價格銷售，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元，問有哪幾種進貨方案？

（3）在條件（2）下，并且不再考慮其他因素，若甲、乙兩種商品全部售完，哪種方案利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】（1）甲商品的進貨單價是100元，乙商品的進貨單價是80元；（2）有3種進貨方案：①甲商品進貨48件，乙商品進貨52件；②甲商品進貨49件，乙商品進貨51件；③甲商品進貨50件，乙商品進貨50件（3）當甲商品進貨48件，乙商品進貨52件時，可獲得最大利潤，最大的利潤是1520元．

【解析】

試題分析：（1）設甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元，根據“甲的進貨單價比乙的進貨單價高20元，已知20個甲商品的進貨總價與25個乙商品的進貨總價相同”列方程組，解方程組即可求解；（2）設甲商品進貨x件，則乙商品進貨（100﹣x）件，根據兩種商品的進貨總價不高于9000元，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元即可列不等式組求解，即可確定方案；（3）找出銷售利潤與x的函數關系式，利用一次函數的性質即可求解．

試題解析：（1）設甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元．

根據題意得：，

解得：x=100，y=80，

答：甲商品的進貨單價是100元，乙商品的進貨單價是80元；

（2）設甲商品進貨x件，則乙商品進貨（100﹣x）件．

根據題意得：，

解得：48≤x≤50．

又∵x是正整數，則x的正整數值是48或49或50，則有3種進貨方案：

①商品進貨48件，乙商品進貨52件；

②甲商品進貨49件，乙商品進貨51件；

③甲商品進貨50件，乙商品進貨50件

（3）銷售的利潤w=100×10%x+80（100﹣x）×25%，即w=2000﹣10x，

則當x取得最小值48時，w取得最大值，是2000﹣10×48=1520（元）．

此時，乙商品進貨100﹣48=52（件）．

答：當甲商品進貨48件，乙商品進貨52件時，可獲得最大利潤，最大的利潤是1520元．