Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點B的切線BP與CD的延長線交于點P，連接OC，CB．
（1）求證：AEEB=CEED；
（2）若⊙O的半徑為3，OE=2BE， = ，求tan∠OBC的值及DP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵∠A=∠BCD，∠AED=∠CEB，

∴△AED∽△CEB，

∴ = ，

∴AEEB=CEED；

（2）解：∵⊙O的半徑為3，

∴OA=OB=OC=3，

∵OE=2BE，

∴OE=2，BE=1，AE=5，

∵ = ，

∴設(shè)CE=9x，DE=5x，

∵AEEB=CEED，

∴5×1=9x5x，

解得：x1= ，x2=﹣ （不合題意舍去）

∴CE=9x=3，DE=5x= ，

過點C作CF⊥AB于F，

∵OC=CE=3，

∴OF=EF= OE=1，

∴BF=2，

在Rt△OCF中，

∵∠CFO=90°，

∴CF2+OF2=OC2，

∴CF=2 ，

在Rt△CFB中，

∵∠CFB=90°，

∴tan∠OBC= = = ，

∵CF⊥AB于F，

∴∠CFB=90°，

∵BP是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，

∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，

在△CFE和△PBE中

，

∴△CFE≌△PBE（ASA），

∴EP=CE=3，

∴DP=EP﹣ED=3﹣ = ．

【解析】（1）直接根據(jù)題意得出△AED∽△CEB，進(jìn)而利用切線的性質(zhì)的出答案；（2）利用已知得出EC，DE的長，再利用勾股定理得出CF的長，t即可得出an∠OBC的值，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出DP的長．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．