Question

【題目】（1）已知四邊形是邊長為的正方形，是正方形邊上的兩個動點，點從點出發，以的速度沿方向運動，點同時從點出發以速度沿方向運動．設點運動的時間為．

①如圖1，點在邊上，相交于點，當互相平分時，求的值；

②如圖2，點在邊上，相交于點，當時，求的值．

（2）如圖，在小正方形的邊長為1的正方形網格中，點在格點上．

①線段的長是_____________；

②在網格中用無刻度的直尺，以為邊畫矩形，使這個矩形的面積是．

要求：保留畫圖痕跡，并說明點的位置如何找到的．

Answer 1

【答案】（1）①2；②4；（2）①；②見詳解．

【解析】

（1）①根據互相平分得四邊形APCQ為平行四邊形，進而可得AP＝CQ，列出方程求解即可；

②根據結合∠ABC＝∠C＝90°及AB＝BC可證得△ABP≌△BCQ，進而可得BP＝CQ，列出方程求解即可；

（2）①利用勾股定理計算即可；

②先利用勾股定理求得AB的長為，再結合矩形的面積是求得矩形另一組邊長為，也就是AB的長的一半，進而可以先作出以AB為邊的正方形ABEF，再找到BE、AF的中點C、D，連接CD，則矩形ABCD即為所求．

解：（1）①如圖1，由題意得：AP＝2t，DQ＝t，

∵正方形ABCD的邊長為6，

∴CQ＝CD－DQ＝6－t，

∵PQ與AC互相平分，

∴四邊形APCQ為平行四邊形，

∴AP＝CQ，

∵AP＝2t，CQ＝6－t，

∴2t＝6－t，

解得：t＝2（符合題意）；

②如圖2，由題意得：BP＝2t－6，CQ＝6－t，

∵AP⊥BQ，

∴∠AHB＝90°，

∴∠PAB＋∠ABH＝90°，

∵在正方形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC

∴∠QBC＋∠ABH＝90°，

∴∠QBC＝∠PAB，

∴在△QBC和△PAB中，

∴△QBC≌△PAB（AAS），

∴CQ＝BP，

∴2t－6＝6－t，

解得：t＝4（符合題意）；

（2）①如圖，由題意得：AP＝3，BP＝2，

∴在Rt△ABP中，；

②如圖，矩形ABCD即為所求，

理由如下：由圖結合①可知：在正方形ABEF中，BE＝AB＝AF＝，∠ABC＝90°，

∵在△AGD和△FHD中，

∴△AGD≌△FHD（AAS），

∴AD＝FD＝AF＝，

同理可得BC＝CE＝BE＝，

∴AD＝BC，

∵在正方形ABEF中，AF∥BE即AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD為矩形，

∵S矩形ABCD＝AB·AD＝，

∴矩形ABCD即為所求．