Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；
（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣ x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+2x+6．

∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8，

∴點D的坐標為（2，8）．

（2）

解：設線段BF與y軸交點為點F′，設點F′的坐標為（0，m），如圖1所示．

∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，

∴△F′BO∽△BDE，

∴ ．

∵點B（6，0），點D（2，8），

∴點E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，

∴OF′= OB=3，

∴點F′（0，3）或（0，﹣3）．

設直線BF的解析式為y=kx±3，

則有0=6k+3或0=6k﹣3，

解得：k=﹣ 或k= ，

∴直線BF的解析式為y=﹣ x+3或y= x﹣3．

聯立直線BF與拋物線的解析式得： ①或 ②，

解方程組①得： 或 （舍去），

∴點F的坐標為（﹣1， ）；

解方程組②得： 或 （舍去），

∴點F的坐標為（﹣3，﹣ ）．

綜上可知：點F的坐標為（﹣1， ）或（﹣3，﹣ ）

（3）

解：設對角線MN、PQ交于點O′，如圖2所示．

∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，

∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線對稱軸上，

設點Q的坐標為（2，2n），則點M的坐標為（2﹣n，n）．

∵點M在拋物線y=﹣ x2+2x+6的圖象上，

∴n=﹣ +2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，

解得：n1= ﹣1，n2=﹣ ﹣1．

∴點Q的坐標為（2，2 ﹣2）或（2，﹣2 ﹣2）．

【解析】（1）由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點式即可得出結論；（2）設線段BF與y軸交點為點F′，設點F′的坐標為（0，m），由相似三角形的判定及性質可得出點F′的坐標，根據點B、F′的坐標利用待定系數法可求出直線BF的解析式，聯立直線BF和拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點F的坐標；（3）設對角線MN、PQ交于點O′，如圖2所示．根據拋物線的對稱性結合正方形的性質可得出點P、Q的位置，設出點Q的坐標為（2，2n），由正方形的性質可得出點M的坐標為（2﹣n，n）．由點M在拋物線圖象上，即可得出關于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入點Q的坐標即可得出結論．本題考查了待定系數法求函數解析式、相似三角形的判定及性質、正方形的性質及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出函數解析式；（2）求出直線BF的解析式；（3）得出關于n的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對相似三角形的性質的理解，了解對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．