Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，弦CD∥BM，交AB于點F，且=，連接AC，AD，延長AD交BM于點E．

（1）求證：△ACD是等邊三角形.
（2）連接OE，若DE=2，求OE的長.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，

∴AB⊥BE，

∵CD∥BE，

∴CD⊥AB，

∴=

∵=，

∴==，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等邊三角形；

（2）

解：連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60°

∵AD=AC，CD⊥AB，

∴∠DAB=30°，

∴BE=AE，ON=AO，

設⊙O的半徑為：r，

∴ON=r，AN=DN=r，

∴EN=2+，BE=AE=，

在Rt△NEO與Rt△BEO中，

OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，

即（）2+（2+）2=r2+，

∴r=2，

∴OE2=+25=28，

∴OE=2．

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根據垂徑定理得到=，于是得到==，問題即可得證；
（2）連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性質得到BE=AE，ON=AO，設⊙O的半徑為：r則ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+，BE=AE=，在Rt△DEF與Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到結論．
此題考查了圓的綜合應用以及等邊三角形的判定與性質和切線的性質以及勾股定理的應用.