Question

【題目】問題探究：如圖1，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．

①BE、CF與EF之間的關系為：BE+CF　 EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）

②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明．

問題解決：如圖2，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D為頂點作∠EDF＝65°，∠EDF的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）＞；（2）EF2＝BE2+CF2．理由見解析；（3）EF＝BE+CF．理由見解析.

【解析】

（1）如圖1中，延長ED到H，使得DH=DE，連接CH，FH．證明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE=CH，利用三角形的三邊關系即可解決問題．
（2）結論：EF2=BE2+CF2．如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接CH，FH．利用全等三角形的性質以及勾股定理即可解決問題．
（3）結論：EF=BE+CF．利用旋轉法構造全等三角形即可解決問題．

解：（1）如圖1中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接CH，FH．

∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，

∴△BDE≌△CDH（SAS），

∴BE＝CH，

∵DE＝DH，FD⊥EH，

∴FE＝FH，

在△FCH中，∵CH+CF＞FH，

∴BE+CF＞EF．

故答案為＞．

（2）結論：EF2＝BE2+CF2．

理由：如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接CH，FH．

∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，

∴△BDE≌△CDH（SAS），

∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，

∵DE＝DH，FD⊥EH，

∴FE＝FH，

∵∠A＝90°，

∴∠B+∠ACB＝90°，

∴∠ACB+∠DCH＝90°，

∴∠FCH＝90°，

∴FH2＝CH2+CF2，

∴EF2＝BE2+CF2．

（3）如圖3中，結論：EF＝BE+CF．

理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，

∴可以將△DBE繞點D順時針旋轉得到△DCH，A，C，H共線．

∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，

∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，

∴∠FDE＝∠FDH，

∵DF＝DF，DE＝DH，

∴△FDE≌△FDH（SAS），

∴EF＝FH，

∵FH＝CF+CH＝CF+BE，

∴EF＝BE+CF．