Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC＝13，點E為射線AD上的一個動點，若△ABE與△A'BE關于直線BE對稱，當△A'BC為直角三角形時，AE的長為__．

Answer 1

【答案】1或25．

【解析】

分點E在線段AD上，點E在線段AD的延長線上兩種情況討論，由題意可得AB=A'B=5，∠EA'B=90°，AE=A'E，A'C=12，根據勾股定理和全等三角形的性質，可求AE的長．

解：若點E在線段AD上，

∵若△ABE與△A′BE關于直線BE對稱，

∴AB＝A'B＝，5，∠EA'B＝90°，AE＝A'E

∵△A'BC為直角三角形

∴∠BA'C＝90°

∴A'C＝＝＝12，

∵∠EA'B＝90°，∠BA'C＝90°

∴∠CA'E＝180°

∴點E，點C，點A'共線

在Rt△CDE中，DC2+DE2＝CE2．

∴（A'E+12）2＝（13﹣AE）2+25，

∴AE＝1，

若點E在線段AD的延長線上，且點C在A'E上，如圖所示：

∵△ABE與△A′BE關于直線BE對稱，

∴AB＝A'B＝，5，∠A＝∠A'＝90°

在Rt△A'BC中，A'C＝＝＝12，

∵∠BCA'+∠DCE＝90°，∠DCE+∠DEC＝90°

∴∠BCA'＝∠DEC，

∵∠A'＝∠EDC＝90°，AB＝CD＝A'B，

∴在△A'C和△DCE中，，

∴△A'BC≌△DCE（AAS），

∴DE＝A'C＝12，

∴AE＝1AD+DE＝13+12＝25；

故答案為：1或25．