Question

【題目】如圖，已知⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為8cm，CD=2 cm，求弦AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠0CA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠OAC=∠CAD，

∴∠CAD=∠ACO，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：作OF⊥AE于F，如圖2所示：

則AF= AE，四邊形OFDC是矩形，

∴OF=CD=2 cm，

∵OA= AB=4cm，

∴AF= = =2，

∴AE=2AF=4．

【解析】（1）連接OC，根據等邊對等角，角平分線的定義及等量代換得出∠CAD=∠ACO，從而根據內錯角相等兩直線平行得出OC∥AD，然后根據平行線的性質得出CD⊥OC，即CD為⊙O的切線；
（2）作OF⊥AE于F，根據垂徑定理得出得出AF=AE,根據三個角是直角得四邊形是矩形得出四邊形OFDC是矩形，根據矩形的對邊相等得出OF=CD，然后利用勾股定理得出AF的長，從而得出AE的長。
【考點精析】通過靈活運用平行線的判定與性質和垂徑定理，掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧即可以解答此題．