Question

【題目】如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動圓圓心Q從點O出發，沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點P從點A出發，沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D，連結CD、QC．
（1）當t為何值時，點Q與點D重合？
（2）當⊙Q經過點A時，求⊙P被OB截得的弦長．
（3）若⊙P與線段QC只有一個公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=6，OB=8，

∴由勾股定理可求得：AB=10，

由題意知：OQ=AP=t，

∴AC=2t，

∵AC是⊙P的直徑，

∴∠CDA=90°，

∴CD∥OB，

∴△ACD∽△ABO，

∴ ，

∴AD= ，

當Q與D重合時，

AD+OQ=OA，

∴ +t=6，

∴t= ；

（2）

解：當⊙Q經過A點時，如圖1，

OQ=OA﹣QA=4，

∴t= =4s，

∴PA=4，

∴BP=AB﹣PA=6，

過點P作PE⊥OB于點E，⊙P與OB相交于點F、G，

連接PF，

∴PE∥OA，

∴△PEB∽△AOB，

∴ ，

∴PE= ，

∴由勾股定理可求得：EF= ，

由垂徑定理可求知：FG=2EF= ．

（3）

解：當QC與⊙P相切時，如圖2，

此時∠QCA=90°，

∵OQ=AP=t，

∴AQ=6﹣t，AC=2t，

∵∠A=∠A，

∠QCA=∠ABO，

∴△AQC∽△ABO，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

∴當0＜t≤ 時，⊙P與QC只有一個交點，

當QC⊥OA時，

此時Q與D重合，

由（1）可知：t= ，

∴當 ＜t≤5時，⊙P與QC只有一個交點，

綜上所述，當，⊙P與QC只有一個交點，t的取值范圍為：0＜t≤ 或 ＜t≤5．

【解析】（1）由題意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對應邊的比求出AD的長度，若Q與D重合時，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；　　　　（2）由于0＜t≤5，當Q經過A點時，OQ=4，此時用時為4s，過點P作PE⊥OB于點E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長；
　　　　（3）若⊙P與線段QC只有一個公共點，分以下兩種情況，①當QC與⊙P相切時，計算出此時的時間；②當Q與D重合時，計算出此時的時間；由以上兩種情況即可得出t的取值范圍．本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，學生需要根據題意畫出相應的圖形來分析，并且能綜合運用所學知識進行解答．