Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD，DE，若CF=2，AF=3．給出下列結論：①△ADF∽△AED； ②FG=2；③tan∠E=； ④S△DEF=4，其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由垂徑定理得出CG=DG，，得出圓周角∠ADF=∠E，再由公共角相等，即可得出△ADF∽△AED，①正確；

由已知條件求出FD，得出CD、CG，即可求出FG=2，②正確；

由相交弦定理求出EF，得出AE，由△ADF∽△AED，得出對應邊成比例，求出AD2=21，由勾股定理求出AG，得出tan∠E=tan∠ADF=,③錯誤；

作EM⊥CD于M，則EM∥AB，證出△EFM∽△AFG，得出比例式，求出ME，即可得出S△DEF=FDME=4，④正確．

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴CG=DG，，∠AGF=∠AGD=90°，

∴∠ADF=∠E，

又∵∠DAF=∠EAD，

∴△ADF∽△AED，

∴①正確；

∵，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=8，

∵CG=DG，

∴CG=DG=4，

∴FG=2，

∴②正確；

∵AFEF=CFFD，

即3EF=2×6，

∴EF=4，

∴AE=7，

∵△ADF∽△AED，

∴，

∴AD2=AE×AF=7×3=21，

在Rt△ADG中，AG=，

∴tan∠E=tan∠ADF=，

∴③錯誤；

作EM⊥CD于M，如圖所示：

則EM∥AB，

∴△EFM∽△AFG，

∴，

∴ME=，

∴S△DEF=FDME=×6×=4，

∴④正確；

故選B．