Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE.

（Ⅰ）請寫出AF與BE的數量關系與位置關系分別是什么，并證明.

（Ⅱ）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變為兩個等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第（1）問中的結論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）AF=BE，AF⊥BE. （Ⅱ）結論成立.

【解析】試題分析：（1）根據SAS易證△ADE≌△DCF，即可證明AF與BE的數量關系是AF=BE，位置關系是AF⊥BE； （2）成立，證明△ADE≌△DCF，然后證明△ABE≌△ADF即可證得BE=AF，然后根據三角形內角和定理證明∠AMB=90°，從而結論得證.

試題解析：

（1）AF=BE，AF⊥BE. 證明參考（2）

（2）結論成立.

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.

在△EAD和△FDC中，

∴△EAD≌△FDC.

∴∠EAD=∠FDC.

∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF.

∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠DAF +∠BAF=90°，

∴∠ABE +∠BAF=90°，

∴AF⊥BE.