Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，已知點A（0，10），點B（m，10）在第一象限，連接AB、OB．

（1）如圖1，若OB=12，求m的值．

（2）如圖2，當m=10時，過B作BC⊥x軸于C，E為AB邊上一點，AE=，把△OAE沿直線OE翻折得到△OFE（點A的對應點為點F），連接BF、CF，求證：BF⊥CF．

（3）如圖3，將△AOB沿直線OB翻折得到△GOB（點A的對應點為點G），若點G到x軸的距離不大于8，直接寫出m的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（1）m=；（2）證明見解析；（3）≤m≤30

【解析】

（1）根據勾股定理計算AB的長，可得m的值；

（2）過點F作FM⊥AB，延長MF交OC于點N，由折疊性質可知：EF=AE=，OF=OA=10，∠EFO=∠OAE=90°，然后根據正方形的性質和AA定理證得△EFM∽△FON，設FM=x，根據相似三角形的性質求得，然后利用勾股定理列方程求解x的值，從而求得MF=2，NF=8，ON=6，NC=4，然后再利用勾股定理求得、，，從而利用勾股定理逆定理判定△BCF是直角三角形，從而求解；

（3）由條件可知點G的縱坐標大于或等于-8小于或等于8．分別計算點G的縱坐標為8和-8時m的值可得m的取值范圍．

解：（1）由A（0，10），點B（m，10）可知AB⊥y軸，

∵OB=12，OA=10，

∴在Rt△AOB中，AB=，

∴m=；

（2）過點F作FM⊥AB，延長MF交OC于點N

由折疊性質可知：EF=AE=，OF=OA=10，∠EFO=∠OAE=90°

由題意可知，當m=10時，四邊形AOCB是正方形且MN⊥AB

∴MN⊥OC

∴∠EMF=∠FNO=90°

又∵∠EFM+∠OFN=90°，∠OFN+∠FON=90°

∴∠EFM=∠FON

∴△EFM∽△FON

設FM=x，則FN=10-x

∴，即，解得：

∴在Rt△FON中，

解得：x=0（舍去）或x=2

∴MF=2，NF=8，ON=6，NC=4

在Rt△EFM中，

∴

在Rt△MFB中，

在Rt△FNC中，

又∵BC=10=100

∴BF+CF=BC

∴△BCF是直角三角形

即BF⊥CF

（3）由條件可知點G的縱坐標大于或等于-8小于或等于8．

①當點G的縱坐標為8時，如圖，過點G作GK⊥x軸于K，交直線AB于R，

在Rt△OGK中，OG=OA=10，GK=8，可求OK=AR=6，RG=2，

∵BA=BG=m，BR=6-m，

在Rt△BRG中，由，

解得：m=；

②當點G的縱坐標為-8時，如圖，過點G作GE⊥x軸于E，交直線AB于R，

在Rt△OGE中，OG=OA=10，GE=8，

∴OE=AR=6，RE=OA=10，

∴GR=EG+RE=18，

∵∠BGR+∠OGE=∠OGE+∠EOG=90°，

∴∠BGR=∠EOG，

∵∠BRG=∠OEG=90°，

∴△BRG∽△EOG，

∴，即，

解得：BR=24，

∴BA=m=AR+BR=6+24=30，

綜上所述：當≤m≤30時，點G到x軸的距離不大于8．

故答案為：≤m≤30．