Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過點C作CQ∥DB，且CQ=DP，連接AP、BQ、PQ．

（1）求證：△APD≌△BQC；

（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求證：四邊形ABQP為菱形．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

（1）根據正方形的性質和全等三角形的判定證明即可；

（2）四邊形AECF是菱形，根據對角線垂直的平行四邊形是菱形即可判斷；

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵CQ∥DB，

∴∠BCQ=∠DBC，

∵DP=CQ，

∴△ADP≌△BCQ．

（2）證明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，

∴四邊形CQPD是平行四邊形，

∴CD=PQ，CD∥PQ，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴AB=PQ，AB∥PQ，

∴四邊形ABQP是平行四邊形，

∵△ADP≌△BCQ，

∴∠APD=∠BQC，

∵∠∠APD+∠APB=180°，

∴∠ABP=∠APB，

∴AB=AP，

∴四邊形ABQP是菱形．