Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，點P是AC邊上的一動點(點P不與端點A、C重合)，過點A作AE⊥BP于D，交BC的延長線于點E.

(1)求證:△ACE≌△BCP;

(2)在點P的移動過程中，若AD=DC，試求CP的長；

(3)試探索：在點P的移動過程中，∠ADC的大小是否保持不變?若保持不變，請求出∠ADC的大小；若有變化，請說明變化情況.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）∠ADC的大小保持不變，為135°.

【解析】

（1）先證明，再根據AAS證明△ACE≌△BCP即可；

（2）由勾股定理求出AB=2，由AD=DC得可證明，進而得，由得BE=AB=2，從而可求得答案；

（3）過點C分別作CF⊥BD于點F，CH⊥AE于點H，則，可證明△CFP≌△CHE，得∠EDC=∠EDB=45°，故可求得∠ADC的大小保持不變，為135°.

（1）證明：，即，

在△ACE和△BCP中

；

（2）∵在中，

，即，

又

，

，

；

（3）過點C分別作CF⊥BD于點F，CH⊥AE于點H，則.

在△CFP與△CHE中，

∵ ∠CFP=∠CHE，

∠HEC=∠FPC，

CP=CE

∴△CFP≌△CHE，

∴CF=CH

∵CF⊥BD，CH⊥AE，

∴CD平分∠EDB，

∴∠EDC=∠EDB=45°，

∴∠ADC=180°-∠EDC=135°，

即∠ADC的大小保持不變，為135°.